Когда-то в 8 классе готовила по этой теме мини-доклад...
Дирихле Иоганн Петер Густав Лежен (1805-1859)
Краткая биографияНемецкий математик. Родился 13 февраля 1805 г. в Дюрене (Рейнская провинция). Умер 5 мая 1859 г. в Гёттингене. Выходец из французской эмигрантской семьи. В 1822-1827 гг. он жил в Париже как частный учитель. В 1827 году занял место доцента в Бреславле; с 1829 года работал в Берлине.
с 22 декабря 1837 г. Иностранный Член-корреспондент Петербургской академии наук, член Парижской академии наук (1854), член Лондонского королевского общества (1855), Берлинской академии наук. С 1831 по 1855 - профессор в Берлине, с 1855 - в Геттинге (в качестве преемника К. Гаусса).
На русский язык переведена его книга "Лекции по теории чисел"
Сделал ряд крупных открытий в теории чисел: установил формулы для числа классов бинарных квадратичных форм с заданным определителем и доказал теорему о бесконечности количества простых чисел в арифметической прогрессии из целых чисел, первый член и разность которой взаимно просты. К решению этих задач применил аналитические функции, названные функциями (рядами). Дирихле создал общую теорию алгебраических единиц в алгебраическом числовом поле. В области математического анализа впервые точно сформулировал и исследовал понятие условной сходимости ряда, дал строгое доказательство возможности разложения в ряд Фурье кусочно-непрерывной и монотонной функции, что послужило обоснованием для многих дальнейших исследований. Значительные труды Дирихле в механике и математической физике, в частности в теории потенциала. Лекции Дирихле имели огромное влияние на выдающихся математиков более позднего времени. Он занимался тригонометрическими рядами. Доказал теорему Ферма для n=5. Сформулировал общее определение понятия функции. Его имя часто употребляется в терминах высшей математики: задача Дирихле, ряды Дирихле, принцип Дирихле, теорема Дирихле, условия Дирихле и функция Дирихле.
Принцип Дирихле:
«Если в N клетках сидит N+1 или больше зайцев, то найдется клетка, в которой сидят, по крайней мере, два зайца».
ДоказательствоДоказательство:
Докажем сам принцип Дирихле методом «от противного». Пусть после того, как мы рассадили всех зайцев по клеткам, в каждой из них сидит не более одного зайца. Тогда во всех N клетках не может сидеть более чем N зайцев. Но мы-то рассадили, по крайней мере, N+1 зайца. Возникло противоречие. Значит, клетка с более чем одним зайцем обязательно найдется.
Несмотря на очевидность этого принципа, его применение во многих случаях оказывается эффективным методом решения задач, дающим простое и изящное решение. Однако во всех этих задачах не всегда легко догадаться, чтo считать «зайцем», а чтo — «клеткой».
Но с помощью принципа Дирихле обычно доказывается существование некоторого объекта, без указания алгоритма его построения. Мы не можем сказать, в какой именно клетке сидят два зайца, а знаем только, что такая клетка имеется. Это — так называемое неконструктивное доказательство.
Задачи
№1
В классе 40 учеников. Найдётся ли такой месяц в году, в котором отмечают свой день рождения не меньше чем 4 ученика этого класса?
ОтветОтвет:
Обязательно найдётся.
РешениеРешение:
Рассуждаем от противного. Если бы такого месяца не нашлось, то в каждом из 12 месяцев день рождения отмечали бы не более трёх учеников. Значит, всего учеников было бы не более 36. Но 40 > 36. Противоречие.
№2
Каждый из 10 участников переговоров послал по их окончании поздравительные открытки пятерым другим участникам. Докажите, что какие-то двое послали открытки друг другу.
РешениеРешение:
Всего было отправлено 50 открыток. Значит, существует участник, который получил не менее пяти открыток (если бы каждый получил не более четырёх, то всего было бы отправлено не более 40 открыток). Таким образом, он послал открытки пятерым участникам и получил открытки не менее чем от пяти участников. Поскольку, кроме него, имеется лишь 9 участников, то хотя бы один другой участник входит в обе пятёрки.
№3
Из любых ли ста целых чисел можно выбрать два числа, сумма которых кратна 7?
ОтветОтвет:
Не из любых.
РешениеРешение:
Возьмём, например, 100 целых чисел, каждое из которых даёт остаток 1 при делении на 7. Из них невозможно выбрать два числа, сумма которых кратна 7.
-
-
23.06.2006 в 18:35А ведь такие задачки есть на устном экзамене на мехмате...